群与环

群

设一个代数系统 $ <G ,*> $（其中 $ G $ 为一集合，$ * $ 为二元运算符），当其拥有以下性质时：

• 闭包性：对 $ a, b \in A $，有 $ a * b \in A $，则该代数系统称为一个广群
• 结合性：对 $ a, b, c \in A $，有 $ a * (b * c) = (a * b) * c $，则该代数系统称为一个半群
• 含有幺元：对 $ \forall a \in A , \exists e \in A $ 使得 $ e * a = a * e = a $，则该代数系统称为一个独异点（幺半群）
• 含有逆元：对 $ \forall a \in A , \exists b \in A $ 使得 $ a * b = b * a = e $，则该代数系统称为一个群
• 交换性：对 $ \forall a, b \in A $，有 $ a * b = b * a $，则该代数系统称为一个交换群（阿贝尔群）

环

设一个代数系统 $ <R ,+, *> $（其中 $ R $ 为一集合，$ +, * $ 为二元运算符），当其拥有以下性质时：

1. 当 $ <R, +> $ 构成交换群（阿贝尔群）
2. 当 $ <R, *> $ 构成半群
3. $ * $ 关于 $ + $ 满足分配律：对 $ \forall a, b, c \in R $，有 $ a * (b + c) = a * b + a * c $

则称这个代数系统为一个环

当一个环中的 $ <R, +> $ 不满足含有逆元的性质时，则成这一代数系统为半环