群与环

群

设一个代数系统 $<G,\ast >$（其中 $G$ 为一集合，$\ast$ 为二元运算符），当其拥有以下性质时：

• 闭包性：对 $a,b\in A$，有 $a\ast b\in A$，则该代数系统称为一个广群
• 结合性：对 $a,b,c\in A$，有 $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c$，则该代数系统称为一个半群
• 含有幺元：对 $\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }e\in A$ 使得 $e\ast a=a\ast e=a$，则该代数系统称为一个独异点（幺半群）
• 含有逆元：对 $\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }b\in A$ 使得 $a\ast b=b\ast a=e$，则该代数系统称为一个群
• 交换性：对 $\mathrm{\forall }a,b\in A$，有 $a\ast b=b\ast a$，则该代数系统称为一个交换群（阿贝尔群）

环

设一个代数系统 $<R,+,\ast >$（其中 $R$ 为一集合，$+,\ast$ 为二元运算符），当其拥有以下性质时：

1. 当 $<R,+>$ 构成交换群（阿贝尔群）
2. 当 $<R,\ast >$ 构成半群
3. $\ast$ 关于 $+$ 满足分配律：对 $\mathrm{\forall }a,b,c\in R$，有 $a\ast (b+c)=a\ast b+a\ast c$

则称这个代数系统为一个环

当一个环中的 $<R,+>$ 不满足含有逆元的性质时，则成这一代数系统为半环