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群与环

• September 28, 2022 • Read: 2030 • 离散数学

设一个代数系统 $ <G ,*> $(其中 $ G $ 为一集合,$ * $ 为二元运算符),当其拥有以下性质时:

  • 闭包性:对 $ a, b \in A $,有 $ a * b \in A $,则该代数系统称为一个广群
  • 结合性:对 $ a, b, c \in A $,有 $ a * (b * c) = (a * b) * c $,则该代数系统称为一个半群
  • 含有幺元:对 $ \forall a \in A , \exists e \in A $ 使得 $ e * a = a * e = a $,则该代数系统称为一个独异点(幺半群)
  • 含有逆元:对 $ \forall a \in A , \exists b \in A $ 使得 $ a * b = b * a = e $,则该代数系统称为一个
  • 交换性:对 $ \forall a, b \in A $,有 $ a * b = b * a $,则该代数系统称为一个交换群(阿贝尔群)

设一个代数系统 $ <R ,+, *> $(其中 $ R $ 为一集合,$ +, * $ 为二元运算符),当其拥有以下性质时:

  1. 当 $ <R, +> $ 构成交换群(阿贝尔群)
  2. 当 $ <R, *> $ 构成半群
  3. $ * $ 关于 $ + $ 满足分配律:对 $ \forall a, b, c \in R $,有 $ a * (b + c) = a * b + a * c $

则称这个代数系统为一个

当一个环中的 $ <R, +> $ 不满足含有逆元的性质时,则成这一代数系统为半环

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2 Comments
  1. my my

    大佬用的是什么 Latex 编辑器,在线的吗?

    还有一个问题:感觉您的博客和读书笔记都很精炼而且抓住核心要点,能否讲解一下读书的方法以及读书笔记的心得?感谢!

    1. @my我用的是主题自带的,看了下应该是Vditor

      笔记的话这篇只是我从网上找到的一些概念,把不会的写下来了。论文的话因为都是精读,开始感觉记太多了有点浪费时间,本末倒置了,现在就把每个章节自己认为重要的概念或者方法记一下,但我也在探索如何能更加高效的记录,目前感觉还是有一些耗时。如果您有什么想法或建议欢迎交流交流@(太开心)